Max Riegler über Aspekte der Quantengravitation


Mein Name ist Max Riegler und ich arbeite seit kurzem an meiner Dissertation unter der Anleitung von Daniel Grumiller am Institut für Theoretische Physik an der TU Wien. Im Rahmen meiner Dissertation beschäftige ich mich hauptsächlich mit "Höherer-Spin-Gravitation" und dem "holographischen Prinzip" in 2+1 Dimensionen (1 Dimension für die Zeit und 2 Raumdimensionen).

Quantengravitation

In der Physik sind vier Grundkräfte, auch Wechselwirkungen genannt, bekannt. Die elektromagnetische Wechselwirkung, die schwache und die starke Wechselwirkung, sowie die Gravitation. Von diesen vier Grundkräften können die erstgenannten drei durch Quantenfeldtheorien beschrieben werden. Die vierte Wechselwirkung, die Gravitation, hingegen verwehrt sich bislang einer solchen Beschreibung mittels einer Quantenfeldtheorie. Trotz jahrzehntelanger Forschung existiert bis heute keine konsistente allgemein anerkannte Theorie der Quantengravitation. In diesem Zusammenhang drängt sich natürlich die Frage auf, warum wir überhaupt an einer quantisierten Theorie der Graviation interessiert sind? Einerseits wäre eine solche Theorie einer der fehlenden Bausteine zu einer "Theory of Everything" (TOE), welche alle vier Grundkräfte vereint. Andererseits sollte es mit einer konsistenten Theorie der Quantengravitation auch möglich sein, Gravitation unter extremen Bedingungen (große Massen, kleiner Abstand) zu beschreiben, wie zum Beispiel im frühen Universum oder bei schwarzen Löchern. Auch wenn DIE Theorie der Quantengraviation noch nicht gefunden wurde, so gibt es doch einige Ansätze, eine solche Theorie zu formulieren. Ein solcher vielversprechender Ansatz wäre beispielsweise durch die String-Theorie gegeben.

Das holographische Prinzip

Das holographische Prinzip wird auch oft in einem Atemzug mit String-Theorie genannt. Dies liegt daran, dass Juan Maldacena 1998 nachweisen konnte, dass die String-Theorie einen Spezialfall des holographischen Prinzips realisiert. Dennoch sind dies zwei voneinander unabhängige Begriffe. String-Theorie ist nur ein Beispiel einer Theorie der Quantengravitation, welches das holographische Prinzip realisiert. Allgemeiner wird das holographische Prinzip auch Eichtheorie/Graviations-Korrespondenz genannt und besagt im Wesentlichen Folgendes: Angenommen, man hat eine Theorie, welche Gravitation mit Hilfe einer bestimmten Raumzeit in d+1 Dimensionen beschreibt, dann existiert dazu eine physikalisch äquivalente Beschreibung (auch duale Beschreibung genannt) in Form einer Quantenfeldtheorie in d-Dimensionen, welche am Rand der Raumzeit lokalisiert ist. Dies lässt sich analog zu einem Hologramm verstehen. Wir können entweder das Hologramm als 3-dimensionales Objekt beschreiben, oder aber auch alles in Form der auf der 2-dimensionalen Photoplatte gespeicherten Phase und Intensität des einfallenden Lichts formulieren.

Schwarze Löcher und das holographische Prinzip

Dieses Prinzip mag auf den ersten Blick vielleicht etwas abstrakt erscheinen, doch es gibt durchaus Hinweise darauf, dass dieses Prinzip in der Natur tatsächlich auftritt. Als wohl prominentestes Beispiel sei hier die Entropie eines schwarzen Loches genannt. Als schwarze Löcher bezeichnet man eine Region der Raumzeit, in der dermaßen starke gravitative Kräfte wirken, dass nichts, nicht einmal Licht, aus dieser Region entkommen kann. Nachdem in der statistischen Physik Entropie proportional zur Anzahl der möglichen Mikrozustände ist, würde man eigentlich erwarten, dass die Gesamtentropie eines schwarzen Loches proportional zu seinem Volumen ist. Dies ist interessanterweise allerdings nicht der Fall. Die Entropie eines schwarzen Loches wächst nämlich nicht mit seinem Volumen, sondern mit seiner Oberfläche.

Vorteile einer holographischen Beschreibung

Doch was nützt uns diese Korrespondenz eigentlich? Nehmen wir an, wir haben Graviationstheorie A, welche bestimmte physikalische Vorgänge für einen großen Wert eines Kopplungsparameters K sehr gut beschreibt. Für kleine Werte desselben Kopplungsparameters K hingegen kann Theorie A keine sinnvollen Vorhersagen mehr machen. Nehmen wir weiters an, dass wir dazu eine duale Quantenfeldtheorie B haben, welche für kleine Werte von K verlässliche Vorhersagen treffen kann, allerdings für große Werte von K nicht mehr gültig ist. Mit Hilfe des holographischen Prinzips ist es nun möglich, Ergebnisse, welche mittels Theorie A ermittelt wurden zu "übersetzen" und somit das Verhalten von Theorie B bei großen Werten von K zu beschreiben. Dies funktioniert auch in die andere Richtung. So kann man auch Ergebnisse aus Theorie B "übersetzen", um das Verhalten von Theorie A bei kleinen Werten von K zu ermitteln.

Schematische Darstellung des holographischen Prinzips

Schematische Darstellung des holographischen Prinzips für eine Raumzeit mit der Topologie eines Zylinders

Die Suche nach dem Wörterbuch

Um eine solche "Übersetzung" zu ermöglichen, ist es allerdings vorher notwendig herauszufinden, welche Größen man wie genau übersetzt. Dies kann man sich ähnlich der Erstellung eines Wörterbuches vorstellen. Wenn man in zwei verschiedenen Sprachen nur über geringe Sprachkenntnisse verfügt, wird es sehr schwer sein, ein gutes Wörterbuch zu erstellen. Verfügt man hingegen über perfekte Sprachkenntnisse in beiden Sprachen, so ist es um ein Vielfaches leichter ein verlässliches Wörterbuch zu erstellen. Um nun ein solches "Wörterbuch" zu erstellen, welches die übersetzung zwischen zwei dualen Theorien ermöglichen soll, bräuchte man Theorien, welche für alle relevanten Werte eines Kopplungsparameters K vollständig lösbar sind. Da ein solches Unterfangen in Dimensionen, welche größer als 2+1 sind (eine realistische Beschreibung von Gravitation würde beispielsweise 3+1 benötigen) sowohl vom rechnerischen, als auch konzeptionellen Standpunkt äußerst schwierig ist, greift man auf "Spielzeug"-Modelle zurück. Diese Modelle sind für gewöhnlich wesentlich einfacher, aber trotzdem noch interessant genug, um konzeptionelle Fragen zu beantworten, welche auch für komplexere Theorien zutreffen. An diesem Punkt kommt der zweite große Punkt meiner Dissertation ins Spiel, Höhere-Spin-Gravitation in 3 Dimensionen. Holographie in 3 Dimensionen hat einige sehr vorteilhafte Eigenschaften. Auf der Graviationsseite gibt es beispielsweise einige technische und konzeptionelle Vereinfachungen, welche es wesentlich einfacher machen, grundlegende Fragen zu behandeln als in höheren Dimensionen. Ein weiterer großer Vorteil einer 3-dimensionalen Gravitationstheorie im Zusammenhang mit dem holographischen Prinzip liegt darin, dass duale Quantenfeldtheorien 2-dimensional sind. Nachdem 2-dimensionale Quantenfeldtheorien meistens sehr gut beherrschbar und relativ gut erforscht sind, bedeutet dies, dass es wesentlich einfacher ist, komplett lösbare Theorien auf beiden Seiten (Gravitation/Quantenfeldtheorie) der holographischen Korrespondenz zu finden.

Höherer Spin heißt mehr Symmetrie

Nun bleibt noch die Frage zu erörtern, was es mit den Höhere-Spin-Graviationstheorien auf sich hat. Versucht man für reine Einstein-Hilbert-Gravitation eine duale Quantenfeldtheorie zu finden, so ist dies prinzipiell möglich, allerdings ist es dann nicht möglich (zumindest bis zu dem Zeitpunkt, an dem dieser Text verfasst wurde) einen semi-klassischen Limes auf der Feldtheorieseite durchzuführen. Dies bedeutet, salopp gesagt, dass es auf der Feldtheorieseite nicht möglich ist, einen übergang vom Quantenregime der Feldtheorie zu einem klassischen Regime zu bewerkstelligen. Der Grund dafür liegt hauptsächlich darin, dass die duale Feldtheorie nur eine geringe Anzahl an Zuständen hat. So ist es beispielsweise nicht klar, wie die massive Entropie eines schwarzen Loches mit nur sehr wenigen möglichen Zuständen erklärt werden soll (weil die Entropie proportional zur Anzahl der möglichen Zustände ist). Ein möglicher Ausweg dazu ist die Einstein-Hilbert-Gravitation entsprechend zu modifizieren, sodass auf der Feldtheorie Seite eine beliebige Anzahl an Zuständen möglich ist und aber gleichzeitig die Theorie überall, außer am Rand, trivial bleibt. Genau das leistet Höhere-Spin-Gravitation. Die Bezeichnung Höhere-Spin-Gravitation ist eventuell etwas irreführend, da Graviation, wie schon eingangs erwähnt, trivial ist in 3 Dimensionen. Eigentlich modifiziert man die Raumzeit so, dass diese mehr Symmetrien aufweist, als im reinen Einstein-Hilbert Fall. Dies übersetzt sich allerdings am Rand der Raumzeit in zusätzliche Zustände (Freiheitsgrade), welche als Zustände einer Feldtheorie interpretiert einen höheren Spin als 2 aufweisen können. Daher der Name Höhere-Spin-Graviation.

Höhere-Spin-Holographie

Wie würde man nun konkret Höhere-Spin-Holographie betreiben? Nun, zuerst startet man mit einer bestimmten Höheren-Spin-Raumzeit, an deren dualer Feldtheorie man interessiert ist. Dann untersucht man, wie sich die Symmetrien, unter denen sich die Raumzeit transformieren lässt, am Rand der Raumzeit verhalten und gegebenenfalls verändern. Hat man dann auf diese Weise die Symmetrien der Quantenfeldtheorie am Rand der Raumzeit ermittelt, kann man anschließend untersuchen, ob die gefundenen Ergebnisse sinnvoll sind, bzw. unter welchen Zusatzvoraussetzungen die Ergebnisse sinnvoll sind und anschließend die duale Feldtheorie identifizieren.

Für eine bestimmte Raumzeit, welche den Namen Anti-de-Sitter-Raumzeit (eine Raumzeit mit konstant negativer Krümmung) trägt, gibt es durchaus schon einige richtungsweisende Ergebnisse und Erkenntnisse. Für Raumzeiten, welche nicht Anti-de-Sitter sind, sind hingegen noch viele Dinge unklar. Nachdem solche Raumzeiten allerdings für ein besseres Verständnins des holographischen Prinzips und für gewisse Anwendungen in der Festkörperphysik von Interesse sind, ist ein Studium dieser Raumzeiten sehr interessant.

1+1 dimensionale AdS Raumzeit in flachem 2+1 dimensionalem Raum eingebettet

1+1 dimensionale AdS Raumzeit in flachem 2+1 dimensionalem Raum eingebettet

Ein erster kleiner Schritt in diese Richtung ist schon mit meiner Diplomarbeit gelungen, deren Ziel es war, ein erstes Beispiel zu finden für Höhere-Spin-Holographie mit einer Raumzeit, welche nicht Anti-de-Sitter ist. Ziel der Dissertation ist es nun, ein besseres Verständnis der Mechanismen und dualen Feldtheorien dieser Höheren-Spin-Holographie für solche nicht Anti-de-Sitter-Raumzeiten zu erlangen.


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