Hallo! Mein Name ist Erwin Riegler. Ich bin Doktorand in der Stringtheorie-Gruppe von Prof. Maximilian Kreuzer am Institut für Theoretische Physik an der TU Wien. Ich beschäftige mich mit Calabi-Yau Kompaktifizierungen und Mirror Symmetrie in der String Theorie. Dabei interessieren mich vor allem die mathematische Aspekte: Ich benütze Hilfsmittel aus der Torischen Geometrie um diese Räume zu konstruieren und deren Eigenschaften zu analysieren.
Im folgenden werde ich versuchen, alle diese Begriffe ein bißchen zu erklären. In der Stringtheorie wird angenommen, daß die tiefste zugrundeliegende Struktur aller Elementarteilchen und ihrer Wechselwirkungen durch kleine "strings" oder Fädchen gegeben ist. Wenn sich diese Strings in der Raumzeit bewegen, füllen sie eine 2-dimensionale Fläche aus, die Weltfläche genannt wird. Wechselwirkungen werden dabei durch Verzweigungen beschrieben, wie im Bild nebenan zu sehen ist. Durch diese Beschreibung der Teilchen als ausgedehnte Objekte vermeidet man das Auftreten von Divergenzen, die beispielsweise in der konventionellen Quantenfeldtheorie bei der Berechnung von Selbstwechselwirkungsgraphen entstehen. Eine störungstheoretische Definition der Stringtheorie ist als 2-dimensionale Quantenfeldtheorie auf dieser Weltfläche gegeben. Das bedeutet, daß man alle solche "unterschiedlichen" 2-dimensionalen Diagramme aufsummiert. Um zu gewährleisten daß diese Summe nicht divergiert, dürfen die einzelnen Beiträge nicht zu groß werden. Das bedeutet, das die Kopplungskonstante niedrig sein muß.
Die Felder sind beim Superstring Bosonen und Fermionen, das sind Teilchen mit ganz- und halbzahligem Spin, die auf diesser Weltfläche leben. Die Teilchen muss man sich nun als Schwingungen, oder Anregungsmoden, des Strings vorstellen. Bei "niedrigen" Energien (die Energien sind immer noch höher als dem Experiment derzeit zugänglich) sieht man in der Raumzeit von den unendlich vielen Anregungsmoden nur noch jene, die masselos sind. Fermionen erhält man dabei aus den Nullmoden von Weltflächen-Fermionen mit geeigneten Randbedingungen (man kann periodische oder antiperiodische Randbedingungen für Felder mit halbzahligem Spin wählen. Bei den antiperiodischen bekommt das Feld ein Vorzeichen, wenn man es einmal um die Weltfläche herum rotiert).
Da unsere Welt nun einmal nicht 10- sondern 4-dimensional ist, stellt man sich die anderen 6 Dimensionen klein aufgewickelt , oder "kompaktifiziert", vor. Aus verschiedenen Gründen aus der Supersymmetrie und konformen Feldtheorie, müssen diese Räume spezielle Eigenschaften haben. Man bezeichnet sie als sogenannte Calabi-Yau (CY) Mannigfaltigkeiten. 
Nebenan sieht man einen 2-dimensionalen Querschnitt durch eine (reell) 6-dimensionale CY: Der quintischen Hyperfläche im 4-dimensionalen komplexen Raum gegeben durch die Gleichung z15+ ... +z55. Wo fünf verschiedene Farben zusammenkommen befindet sich ein Fixpunkt einer komplexen Phasentransformation, was einer Singularität in der CY entspricht. Nun gibt es nicht nur verschiedene Stringtheorien in 10 Dimensionen, es gibt auch eine Vielzahl von verschiedenen CY's, die a priori zu einer unterschiedlichen Physik in 4 Dimensionen führen. Jede einzelne CY besitzt eine Vielzahl von Parametern, auch "Moduli" genannt, mit denen man die Gestalt dieses Raumes ändern kann. Man muß sich also vorstellen, daß es nicht eine einzige, sondern eine ganze "Familie" von Räumen gibt, die mit der jeweiligen CY zusammenhängen. Ändert man diese Parameter, so gelangt man von einer CY zu einer anderen. In vier Dimensionen bewirkt das ein Ändern von Massenparametern und Kopplungen. Diese Moduli sind im Wesentlichen die Parameter die vor den einzelnen Termen (Monomen) der definierenden Gleichung stehen. Bei unserer Quintik gibt es 126 verschiedene Monome vom Grad 5. Dabei kann man 25 Parameter aus Symmetriegründen auf 1 setzen, also gibt es tatsächlich nur 101 verschiedene Moduli. In unserem Bild wurden 5 Parameter auf 1 gesetzt sind und der Rest auf 0, was einem Punkt im Moduliraum entspricht wo die CY singulär wird (weil die Fixpunkte der Phasensymmetrie die Gleichung erfüllen).
Nicht nur, daß es verschiedene Stringtheorien in 10 Dimensionen gibt, wie vorhin erwähnt erhält man zu jeder einzelnen CY gleich noch eine ganze "Familie", wenn man an den Parametern dreht. Jede einzelne führt a priori zu einer unterschiedlichen Physik in vier Dimensionen. Welches ist nun die richtige? Und, wenn eine davon zur fundamentalen Theorie führt, was ist mit den anderen? Das Konzept, das dieses Problem lösen soll, nennt man Dualität. Dabei spielen nicht-störungstheoretische Effekte eine große Rolle. Diese treten zum Beispiel auf, wenn man höherdimensionale Objekte, sogenannte D-branes, um Ballons wickelt, die es in der CY gibt. Die Idee ist, daß die selbe physikalische Theorie unterschiedliche störungstheoretische Beschreibungen zulässt, je nachdem in welchem Teil des Parameterraums man sich befindet. Dabei können nicht-störungstheoretische Effekte in einer Beschreibungen zu Teilchen in einer anderen führen. Bei unserer Quintik könnte man sich vorstellen, daß einer unserer singulären Punkte, wenn man zu einem anderen Punkt im Parameterraum geht, zu einem Ballon aufgeblasen wird. Die Masse einer D-brane, die um so einen Ballon gewickelt werden kann, ist proportional zu dessen Oberfläche. Lässt man die Luft aus, so kollabiert er zu einem Punkt, und es entsteht ein masseloses Teilchen.
Eine spezielle Art dieser Dualität ist Mirror-Symmetrie. Dabei können zwei verschiedene CY's (unterschiedliche Größe, Gestalt, und Anzahl von Löchern), wenn man sie geeignet wählt, zur selben physikalischen Theorie führen. Berechnungen, die man in der einen Theorie nur sehr schwer (oder manchmal gar nicht) durchführen kann, können dann mit Hilfe dieser Symmetrie in der dualen Theorie oft viel leichter gemacht werden. Grob gesprochen kann man sich vorstellen, daß bei dieser Symmetrie die Radien der klein aufgewickelten Dimensionen invertiert werden. Daher kommt auch der Name: Man "spiegelt" die Radien. Allerdings möchte ich anmerken, daß nicht jede CY eine Mirror-CY besitzt.
Mirror Paare von CY's werden in der Torischen Geometrie durch Paare von speziellen Polyedern konstruiert. Dabei gehört jeder Eckpunkt des einen Polyeders zu einer Facette des anderen, und umgekehrt. Die Gitterpunkte im Polyeder entsprechen im Wesentlich den Exponenten der definierenden Gleichung. Bei unserem einfachen Beispiel mit der Quintic würde eines der beiden Polyeder ein Simplex in einem vierdimensionalen Raum sein, der 126 Gitterpunkte enthält. Diese Konstruktion lässt sich dann von Hyperflächen auf Schnitte von Hyperflächen erweitern. Dabei muss man die Polyeder in geeigneter Weise "zerteilen", oder "partitionieren". Die Erstellung eines C-Programms zum auffinden solcher Partitionen und zur Berechnung bestimmter topologischer Grössen dieser Räume war Teil meiner Diplomarbeit.
Wer mehr über Stringtheorie erfahren will, dem kann ich die SUPERSTRINGS! Homepage empfehlen. Dort findet man unter anderem ein Online Tutorial und Links zu anderen web sites.
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