Zu verstehen, woraus unsere Welt aufgebaut ist, war schon immer mein Wunsch. Im Rahmen meines Physik-Studiums an der Karl-Franzens-Universität Graz habe ich erfahren, welche Überraschungen die Welt der Elementarteilchen, der Bausteine des Universums, bereit hält, und dass die herkömmlichen Vorstellungen nicht immer zutreffen. Mein Name ist Markus Huber und ich möchte hier einen kleinen Einblick in einen Teilbereich der Welt der Elementarteilchen geben.
Elementarteilchen gibt es viele. Hier will ich mich auf Quarks und Gluonen konzentrieren. Letztere habe ich sowohl in meiner Diplomarbeit als auch in meiner Dissertation untersucht. Beide Arbeiten habe ich bei Prof. Reinhard Alkofer an der Karl-Franzens-Universität Graz verfasst, wo ich 2010 sub auspiciis praesidentis, also unter Anwesenheit des Bundespräsidenten, promoviert habe. Quarks und Gluonen unterliegen der starken Wechselwirkung, welche eine der bekannten Grundkräfte ist. Aus unserer Alltagserfahrung kennen wir die Schwerkraft und die elektromagnetische Kraft, die ebenfalls Grundkräfte sind. Der starken Kraft begegnen wir im täglichen Leben deshalb nicht, weil sie erst bei sehr kleinen Abständen wichtig wird, zB im Inneren von Atomkernen, die aus Protonen und Neutronen bestehen. Da Protonen positiv geladen sind, würde man eigentlich erwarten, dass sie sich voneinander abstoßen, doch die starke Kraft wirkt dem entgegen und ist dafür verantwortlich, dass Atomkerne mit mehr als einem Proton existieren können.
Protonen und Neutronen sind nur ein Vertreter einer Klasse von Teilchen, die man Hadronen nennt. Andere Hadronen sind zB Pionen oder Kaonen. Allen Hadronen ist gemein, dass sie eine innere Struktur haben: Beschießt man sie in einem Streuexperiment mit hochenergetischen Elektronen, so sehen die erhaltenen Streuquerschnitte aus, als ob Hadronen aus punktförmigen Teilchen bestehen. Diese nennt man Quarks. Ich habe bewusst geschrieben "sehen aus, als ob," denn Quarks entsprechen nicht dem üblichen Bild, das wir von Teilchen haben, weil sie nicht einzeln auftreten, sondern immer nur in Hadronen. Es ist auch nicht möglich, künstlich ein einzelnes Quark zu isolieren: Der Versuch, ein Quark aus einem Hadron herauszureißen, führt zur Erzeugung eines Quark-Antiquark-Paares. Das Quark bleibt beim alten Hadron, das Anti-Quark bildet mit dem herausgerissenen Quark ein neues Hadron. Es ist also unmöglich, ein einzelnes freies Quark zu beobachten. Diesen permanenten Einschluss von Quarks nennt man Confinement (engl.: Einschluss).
Quarks wechselwirken nicht direkt miteinander, sondern über die sogenannten Gluonen. Dieser Name steht für die Bedeutung der Gluonen als eine Art Kleber, der die Quarks zusammenhält, denn er leitet sich vom Englischen glue (Kleber) ab. Gluonen sind ebenso wie Quarks dauerhaft in Hadronen eingeschlossen. Die Theorie der Quarks und Gluonen ist die Quantenchromodynamik (QCD). Da die Gluonen für die Kräfte zwischen den Quarks verantwortlich sind, spielen sie eine wichtige Rolle für das Confinement. Oft wird auch die QCD ohne Quarks, die sogenannte Yang-Mills-Theorie, untersucht, da man bereits von dieser einiges über die Natur lernen kann. Im Folgenden werde ich mich auf die Yang-Mills-Theorie beschränken.
Eine Möglichkeit, das Verhalten der Gluonen zu beschreiben, sind die Green-Funktionen, auch n-Punkt-Funktionen
genannt. Diese beschreiben die Fortbewegung (2-Punkt-Funktion) und die Wechselwirkung (3-Punkt-Funktion, 4-Punkt-Funktion usw.)
von Gluonen. Die Bewegungsgleichungen der Green-Funktionen nennt man Dyson-Schwinger-Gleichungen. (Manchmal
findet man auch den Namen Schwinger-Dyson-Gleichungen. Die wissenschaftliche Community ist sich hier nicht ganz über
die Reihenfolge der Namen einig.) In einem Satz zusammengefasst sind die Dyson-Schwinger-Gleichungen exakte Integralgleichungen,
welche die Fortbewegung und Wechselwirkung von Feldern/Teilchen (hier Gluonen) beschreiben. Eine anschauliche Darstellung
dieser Gleichungen ist mit Hilfe von Diagrammen möglich. Die Gleichung für die Gluon-2-Punkt-Funktion sieht zB so aus:
Auf der linken Seite befindet sich die exakte Gluon-2-Punkt-Funktion, wobei der dicke Punkt für "exakt" steht. Dh wir
reden hier nicht von der 2-Punkt-Funktion, wie sie aus der Wirkung ablesbar ist (der störungstheoretischen), sondern
von der vollen 2-Punkt-Funktionen, die sämtliche Wechselwirkungen der Theorie berücksichtigt. Die rechte Seite
beschreibt, wie diese Wechselwirkungen genau aussehen: Das erste Diagramm zeigt ein Gluon, dass von i nach j läuft
ohne irgendwie zu interagieren (deswegen kein dicker Punkt). Die anderen Diagramme zeigen, wie sich das Gluon auf seinem
Weg aufspaltet und die entstandenen Teilchen sich am Ende wieder zu einem Gluon vereinigen. Das dritte Diagramm steht zB
für die Aufspaltung des Gluons in zwei Gluonen, die unabhängig voneinander propagieren und sich dann wieder
vereinigen. Der dicke Punkt an der Stelle der Wiedervereinigung stellt eine volle 3-Punkt-Funktion dar, dh er beschreibt
alle Möglichkeiten der Wiedervereinigung. Um genau zu wissen, wofür er steht, müsste man sich seine eigene
Dyson-Schwinger-Gleichung anschauen. Die zwei internen Gluon-Linien stehen übrigens auch für die exakte
2-Punkt-Funktion (hier wird der dicke Punkt meist weggelassen, damit es nicht zu unübersichtlich wird). Die grünen
Linien im vierten Diagramm stellen die sogenannten Geist-Felder dar: Sie entsprechen keinen physikalischen Teilchen,
sondern sind nur ein mathematisches Hilfsmittel.
Was die Dyson-Schwinger-Gleichung unter anderem so kompliziert macht, ist, dass alle Gleichungen miteinander verbunden sind: Wir haben schon gesehen, dass eine volle 3-Punkt-Funktion in der 2-Punkt-Gleichung auftaucht. Eine 4-Punkt-Funktion kommt ebenfalls vor. Sieht man sich die Dyson-Schwinger-Gleichungen dieser Funktionen an, wird man 5- und 6-Punkt-Funktionen finden und in deren Dyson-Schwinger-Gleichungen noch höhere n-Punkt-Funktionen. Man spricht vom unendlich hohen Turm der Dyson-Schwinger-Gleichungen. Ganz intuitiv würde man jetzt erwarten, dass man diesen Turm nicht vollständig lösen kann und ihn trunkieren (abschneiden) muss, dh sich auf ein paar niedrige n-Punkt-Funktionen beschränken muss. Und genau so ist es anfangs auch gemacht worden. Dabei hat man aber vieles gelernt und auch herausgefunden, dass man in einem bestimmten Bereich, nämlich bei niedrigen Energien, die Lösung für den gesamten Satz an Gleichungen zumindest qualitativ beschreiben kann. Das Verständnis des qualitativen Verhaltens der Green-Funktionen bei niedrigen Energien reicht bereits aus, um etwas über den Mechanismus, der für Confinement verantwortlich ist, zu lernen.
In meiner bisherigen Schilderung bin ich auf eine wichtige Sache noch nicht eingegangen: Die Yang-Mills-Theorie ist eine Eichtheorie. Die Grundidee hinter einer solchen ist, dass ein physikalischer Zustand sich nicht ändert, wenn man an einem beliebigen Punkt die Felder, welche die Gluonen repräsentieren, auf eine gewisse Art und Weise transformiert. Diese Eichsymmetrie ist eine immense Symmetrie, die von der Theorie eingehalten werden muss, weil sie unabhängig an jedem Punkt in der Raumzeit erfüllt sein muss. Folglich gibt es auch eine unendlich große Anzahl an Feldkonfigurationen, die physikalisch äquivalent sind. Und aus all den physikalisch äquivalenten Konfigurationen können wir einen beliebigen Repräsentanten wählen. Man spricht davon, die Eichung zu fixieren.
Die Physik ist unabhängig von der Wahl einer Eichung, aber die Green-Funktionen sind es nicht! Folglich werden auch
die Dyson-Schwinger-Gleichungen anders aussehen, wenn wir die Eichung wechseln. Je nach Bedarf wählen wir dann jene
Eichung, die für die zu untersuchende Fragestellung am sinnvollsten ist. Eine der am besten untersuchten Eichungen
in diesem Zugang ist die Landau-Eichung, weil die Gleichungen die einfachst mögliche Form annehmen. So ist sie nicht
nur die "einfachste" Eichung, sondern sie eignet sich auch bestens, um Methoden zur Lösung der Gleichungen zu
entwickeln und zu verbessern. Die oben gezeigte Dyson-Schwinger-Gleichung gilt übrigens für die Landau-Eichung.
Eine alternative Eichung stellt die maximal Abel'sche Eichung dar. In ihr wird das Gluon-Feld in zwei Anteile aufgespalten,
sodass man es mit drei Feldern zu tun hat: Dem Abel'schen Anteil der Gluonen, dem Rest der Gluonen und den Geist-Feldern.
Aufgrund dieser Aufspaltung eignet sich diese Eichung besonders gut, um ein spezielles Szenario für Confinement zu
untersuchen, das auf einem dualen Supraleiter basiert. Diese Eichung ist ungemein komplizierter als die Landau-Eichung,
weswegen auch die Dyson-Schwinger-Gleichungen komplexer werden. Hier als Beispiel die 2-Punkt-Funktion des Abel'schen Gluons:
Die Abel'schen Gluonen sind rot, die Geister grün und die anderen Gluonen magenta. Die Anzahl an Termen ist hier um
einiges größer als in der Landau-Eichung. Dieser Unterschied ist bei höheren n-Punkt-Funktionen noch
ausgeprägter.
Nachdem die Landau-Eichung bereits sehr gut verstanden ist, war einer der nächsten Schritte auf dem Weg zu einem besseren Verständnis der Yang-Mills-Theorie die Verallgemeinerung auf andere Eichungen. Konkret habe ich mich in meiner Dissertation mit der eben erwähnten maximal Abel'schen Eichung befasst. Da deren Dyson-Schwinger-Gleichungen um einiges komplizierter sind als in der Landau-Eichung, habe ich ein Programm geschrieben, das die Herleitung der Gleichungen übernimmt. Es heißt DoDSE, was für "Derivation of Dyson-Schwinger Equations" steht. Mit seiner Hilfe kann man die Dyson-Schwinger-Gleichungen für verschiedenste Eichungen und sogar für andere Theorien ableiten. Alles was man dazu braucht, ist Mathematica. Auch die Darstellung der Gleichungen in diagrammatischer Form übernimmt das Programm. Die Herleitung komplizierter Dyson-Schwinger-Gleichungen ist damit in wenigen Minuten erledigt. Und ganz ehrlich, wer möchte denn schon so etwas wie eine 5-Punkt-Funktion von Hand herleiten? Die resultierenden 434 Terme in Landau-Eichung sind hier gezeigt.
Die Analyse der Dyson-Schwinger-Gleichungen in maximal Abel'scher Eichung hat interessante Ergebnisse zutage gebracht: Das Verhalten der Green-Funktionen bei niedrigen Energien ist ein gänzlich anderes als in der Landau-Eichung. Während in letzterer die Geist-Felder die dominanten Freiheitsgrade bei niedrigen Energien darstellen, sind es in der maximal Abel'schen Eichung die Abel'schen Gluonen. Dies ist kein Widerspruch, da n-Punkt-Funktionen ganz klar von der Eichung abhängen. Bei genauer Betrachtung ist dieses Verhalten der Abel'schen Gluonen sogar erwartet, denn es bestätigt die sogenannte Hypothese der Abel'schen Infrarot-Dominanz. Diese beruht auf dem Confinement-Szenario eines dualen Supraleiters und besagt, dass die Abel'schen Anteile des Gluons im Infraroten, also bei niedrigen Energien, dominieren. Und genau das haben wir gefunden.
Man sieht also, dass Confinement in unterschiedlichen Eichungen unterschiedlich realisiert werden kann. Ein Ziel ist es, den Zusammenhang zwischen den verschiedenen Eichungen und Szenarien zu verstehen. Im Fall der maximal Abel'schen Eichung und der Landau-Eichung wurde ein Zusammenhang zwischen den dominierenden Feld-Konfigurationen bereits vor ein paar Jahren gefunden. Mit Hilfe der Dyson-Schwinger-Gleichungen konnten wir zeigen, dass dieser Zusammenhang auch auf der Ebene der n-Punkt-Funktionen existiert. Damit hat wieder ein Puzzlestein im Gesamtbild zum Verständnis von Confinement seinen Platz gefunden. Es bleiben aber noch viele weitere, die gefunden und richtig eingeordnet werden müssen.
Markus Huber
Homepage: http://physik.uni-graz.at/~mah
Email: markus.huber()uni-jena.de
Weitersagen: