Daniel Blaschke über nichtkommutative Quantenfeldtheorie

2009-03-10 Daniel Grumiller

Mein Name ist Daniel Blaschke und ich möchte euch im Rahmen dieses Artikels mein Forschungsgebiet etwas näher bringen. Ich bin derzeit Projektassistent am Institut für Theoretische Physik an der TU Wien wo ich auch schon meine Doktorarbeit geschrieben und vor rund einem Jahr unter der Betreuung von Prof. Manfred Schweda abgeschlossen habe.

Das Thema meiner Forschung sind die sogenannten nichtkommutativen Quantenfeldtheorien, insbesondere die nichtkommutativen Eichtheorien. Der Begriff "kommutieren" bedeutet "vertauschen", dass z.B. für die Multiplikation zweier reeller Zahlen a und b gilt ab=ba. Wären hingegen a und b Matrizen, würde dies nicht mehr gelten. In der Quantenmechanik hat man es prinzipiell mit Operatoren zu tun, die ebenfalls nicht kommutieren. So gilt nach Heisenberg beispielsweise, dass Ortsoperator x und Impulsoperator p nicht vertauschen, d.h. dass ihr Kommutator [x,p]=xp-px nicht Null, sondern proportional zur Planckschen Konstante ist. Aus dieser Beziehung folgt dann auch die berühmte Heisenberg`sche Unschärfe zwischen Ort und Impuls eines Teilchens.

In unserer Forschungsgruppe (zu der u.a. E. Kronberger, A. Rofner, M. Schweda und R. Sedmik gehören und die international mit F. Gieres, H. Grosse und M. Wohlgenannt kooperiert) gehen wir allerdings noch einen Schritt weiter: Wir untersuchen was passiert, wenn wir noch eine weitere Unschärfe, diesmal zwischen Raum- und Zeitkoordinaten, berücksichtigen, d.h. wenn für nunmehr Operatoren von Raum und Zeit Kommutatoren wie [x,t] und [x,y] nicht mehr Null sind. Die Herausforderung ist hierbei die konsistente Formulierung einer Quantenfeldtheorie auf einer derartigen "nichtkommutativen" Raumzeit.

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Doch wie kann man derartige Überlegungen rechtfertigen, bzw. welche Motivation gibt es, eine solche Raumzeit zu postulieren? Nun, dazu müssen wir einen kurzen Rückblick machen. Im Laufe des vergangenen Jahrhunderts wurden zwei äußerst erfolgreiche physikalische Theorien entwickelt: die Relativitätstheorie und die Quantenmechanik (bzw. in weiterer Folge die Quantenfeldtheorie zur Beschreibung von Elementarteilchen). Während die Relativitätstheorie, die mit reellen Zahlen und geometrischen Konzepten auskommt, eine ausgezeichnete Beschreibung der Welt im ganz Grossen, sprich Gravitation und Bewegung von Himmelskörpern wie Planeten und Sternen liefert, ist die Quantentheorie eine Theorie der mikroskopischen Welt, welche mit recht abstrakten Konzepten wie Operatoren das Verhalten weniger (Elementar-) Teilchen beschreibt. Wir haben es also mit zwei Theorien zu tun, die sehr gute Approximationen für unterschiedliche physikalische Bereiche darstellen. Allerdings sind sie mathematisch inkompatibel. Obwohl es durchaus zahlreiche Ansätze gibt (u.a. die Stringtheorie oder die loop quantum gravity), fehlt jene Theorie, die diese beiden verbindet und sozusagen "alles" erklärt.

Der von uns verfolgte Ansatz, ist die Formulierung einer Quantenfeldtheorie auf einer quantisierten (zunächst flachen) Raumzeit, die wie gesagt durch nichtverschwindende Kommutatoren zwischen den Koordinaten gekennzeichnet ist. Dies führt auf eine zusätzliche Unschärfe (zusätzlich zur Heisenberg`schen), deren Größenordnung wir noch nicht genau kennen. Man kann allerdings Schranken angeben und erwartet u.a., dass diese Raumzeitunschärfe größer ist als das Quadrat der Plancklänge, welche rund 10-33cm beträgt. Tatsächlich stellt diese Länge eine natürliche Grenze der Messbarkeit dar, denn um noch kleinere Strukturen messen zu können wäre so viel Energie nötig, dass ein mikroskopisches schwarzes Loch entstünde. (Technisch wird man diese winzigen Distanzen allerdings wohl nie erreichen. Es handelt sich hier also lediglich um ein Gedankenexperiment, welches auf der Extrapolation der Tatsache basiert, dass man im Allgemeinen für immer höhere Ortsauflösung immer mehr Energie benötigt.)

Die Tatsache, dass bisher noch keine experimentellen Hinweise auf eine nichtkommutative Raumzeitgeometrie gefunden wurden, führt außerdem auf eine obere Schranke besagter Unschärfe. Dazwischen liegen rund 15 Größenordnungen, also eine große Grauzone, in die zukünftige Experimente allmählich eindringen werden. Sollte der (vermutlich eher unwahrscheinliche) Fall eintreten, dass sich diese Raumzeitunschärfe in der Nähe der oberen Schranke befindet, könnte man vielleicht sogar im neuen LHC Experiment des CERN einen Effekt sehen.

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Abb. 2
Quelle: ts-dep.web.cern.ch

Etwas mehr verspricht man sich hingegen vom interferometrischen Gravitationswellendetektor LISA (Laser Interferometer Space Antenna), welcher 2020 seinen Betrieb im Weltall aufnehmen soll. Dieser wird aus drei Satelliten bestehen, die in Form eines gleichseitigen Dreiecks angeordnet die Sonne umkreisen und Gravitationswellen (welche in weiterer Folge evtl. Hinweise auf eine quantisierte Geometrie liefern könnten) detektieren.

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Abb. 3
Quelle: lisa.jpl.nasa.gov

Eine große Herausforderung bei der Konstruktion einer nichtkommutativen Quantenfeldtheorie ist es, Konsistenz (also Renormierbarkeit) zu erreichen. Bisher ist dies nur für ein Skalarfeld (wie z.B. das Higgs Feld eines ist) gelungen: Insgesamt drei renormierbare nichtkommutative skalare Feldtheorien gibt es heute, wobei das erste (und somit jenes, dass im Jahr 2003 den ersten großen Durchbruch dargestellt hat) das sogenannte Grosse-Wulkenhaar-Modell ist. Unser Ziel ist es nun, einen Schritt weiter zu gehen und eine renormierbare nichtkommutative Eichtheorie (also eine nichtkommutative Theorie des Lichts) zu finden. Tatsächlich haben wir vergangenes Jahr diesbezüglich ein, wie wir meinen, vielversprechendes Modell präsentiert. Erweist sich unser Modell tatsächlich als renormierbar, muss schließlich auch noch eine adäquate Beschreibung von Materie in einer nichtkommutativen Raumzeitgeometrie gefunden werden. Bis dahin ist es allerdings noch ein weiter Weg.

Zum Abschluss möchte ich noch ein paar interessante Links zum Thema nichtkommutative Geometrie/Quantenfeldtheorie angeben:
http://en.wikipedia.org/wiki/Noncommutative_geometry,
http://arxiv.org/abs/0705.0705,
http://www.alainconnes.org/en/links.php,
und nicht zuletzt meine eigene Homepage:
http://hep.itp.tuwien.ac.at/~blaschke/.


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