René Meyer, 25, studiert Physik an der Universität Leipzig. Er diplomiert zur Zeit über Skalar-Tensor-Theorien mit Fermionen in zwei Dimensionen. Dabei kann er interessante Einblicke in Strukturen der Quantengravitation erhaschen.
Hallo,
Ich bin René, 25 Jahre jung und studiere seit Herbst 2002 Physik an der altehrwürdigen Alma Mater Lipsiensis. Das Grundstudium habe ich an der TU Chemnitz absolviert, bin dann nach Leipzig gewechselt und war zwischendrin, genauer im akademischen Jahr 2003/04, an der Universität der Provinz Zhejiang und dem Zhejiang Institue of Modern Physics in der Volksrepublik China.
Ich interessiere mich für klassische und Quantenfeldtheorie, insbesondere für Gravitationstheorien und Ansätze zur Quantisierung dieser, aber auch für andere mathematisch-physikalische Themen. In meiner Diplomarbeit, an der ich gerade schreibe und bei der mich Daniel Grumiller betreut, untersuche ich deshalb die Pfadintegralquantisierung von Dilatongravitationstheorien in zwei Dimensionen mit Fermionen. 
Um dieses ganze Quanten-Gravitations-Dilaton-Kauderwelsch auch für fachfremde Leser verständlich zu machen, muß man etwas über die Entwicklung der Begriffe von Raum und Zeit im Laufe der Zeit wissen: Isaac Newton nahm eine feste Zeit und einen fixen Raum an, die überall gleich seien, sich nie änderten und durch keine physikalischen Vorgänge beeinflußt werden. Auf dieser Bühne liefen für Newton die zeitlich veränderlichen Bewegungen ab. Seine Mechanik war sehr erfolgreich, und beschrieb die Bewegung aller Planeten im Sonnensystem mit hoher Präzision. Aufgrund ihrer Vorhersagen konnten z.B. Neptun und Pluto gefunden werden.
Newtons Vorstellung von Raum und Zeit dominierte in der Physik bis 1905, als Albert Einstein die Spezielle Relativitätstheorie veröffentlichte. Einsteins Interesse wurde von einen Widerspruch zwischen Newtonscher Mechanik und der Elektrodynamik James Clerk Maxwells genährt: Mechanische Geschwindigkeiten addieren sich vektoriell, aber für das Licht schien das nicht zu gelten. Es bewegt sich, unabhängig vom Bewegungszustand der Quelle und des Beobachters, immer mit der gleichen Geschwindigkeit. Einstein baute seine Theorie auf zwei Prinzipien: Die physikalischen Gesetze sollten für alle Beobachter, die sich mit konstanter Geschwindigkeit und Richtung bewegen, die gleiche Form haben. Und die Lichtgeschwindigkeit soll für alle Beobachter gleich sein, egal, in welchem Bewegungszustand sie sich befinden. Dies führte ihn zu einem Additionsgesetz für Geschwindigkeiten, das die Lichtgeschwindigkeit konstant läßt. Gleichzeitig ist diese auch die größte Geschwindigkeit, die ein Körper haben kann. Das bedeutet auch, daß sich keine Wirkung schneller als mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet, da sie durch Felder bzw. Materieteilchen vermittelt werden muß. Dafür mußte er allerdings die starren newtonschen Vorstellungen von Raum und Zeit aufgeben: Die Lorentztransformationen, welche physikalische Größen, die ein Beobachter gemessen hat, in die eines anderen überführt, mischen Raumkoordinaten und die Zeit miteinander! Was ein Beobachter als seine Orte (x,y,z) und Zeiten t sieht, ist für einen dazu geradlinig gleichförmig bewegten Beobachter von dessen Zeiten und Orten abhängig! Die mathematische Beschreibung dieser Transformationen ist in einer vierdimensionalen Raumzeit am einfachsten: Dort sind es einfach vierdimensionale Drehungen. Die Folgen sind schwer vorzustellen: Strecken verkürzen sich für bewegte Beobachter (im vergleich zu Ruhenden), und die Zeit vergeht langsamer.
Die Gravitationskraft wollte aber nicht so recht in das Bild passen: Nach der Newtonschen Gravitationstheorie breiten sich Wirkungen, also Veränderungen in der Massenverteilung, unendlich schnell aus. Schneller als das Licht also, was der speziellen Relativitätstheorie widerspricht. Außerdem konnte das Newtonsche Gravitationsgesetz als einziges nicht in eine unter Lorentztransformationen gleichbleibende Form gebracht werden. Bei der Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie lies sich Einstein dann auch wieder von Prinzipien leiten: Das Äquivalenzprinzip soll ihm klar geworden sein, nachdem er einen Dachdecker im Krankenhaus besuchte. Dieser war vorher von einem Haus gegenüber Einsteins Büro abgestürzt und erzählte ihm, daß er während des Falls sein eigenes Gewicht nicht gespürt habe. Der freie Fall und echte Schwerelosigkeit, also das Fehlen aller gravitativ wirkenden Massen in einer ausreichend großen Umgebung sind also ununterscheidbar! Nur wie sollte man die Anziehung von Massen nun beschreiben, wenn es eigentlich eine Scheinkraft ist, die immer dann verschwindet, wenn der Beobachter frei fällt?
Einstein fand die Lösung in einer verallgemeinerung der flachen vierdimensionalen Raumzeit: Würde Materie die Raumzeit krümmen, dann fiele man auf kürzesten Linien, die aber keine Geraden mehr sind, durch den Raum. Es sähe also für einen festen Beobachter so aus, als unterläge man einer Anziehungskraft, aber der frei fallende Beobachter würde keine Schwere spüren. Und genau dies erleben die Astronauten in der Internationalen Raumstation: Sie fallen um die Erde, und für sie herrscht Schwerelosigkeit, während es für uns auf der Erde ganz klar ist, daß sie der Erdanziehung unterliegen. Sonst würden sie sich ja nicht auf einer Kreisbahn bewegen. Leider sind die Feldgleichungen der Gravitation für eine vierdimensionale Raumzeit so kompliziert, daß man sie nur in einfachen Fällen lösen kann. Selbst die Bewegung zweier Körper umeinander kann nicht mehr exakt, sondern nur noch mit Hilfe von Computerberechnungen gelöst werden. Genau diese Komplexität macht die Quantisierung von Gravitation, also den Übergang von der klassischen Einsteinschen Gravitationstheorie zu einer Quantentheorie, in der die Geometrie der Raumzeit nicht kontinuierlich, sondern in irgendeinem Sinne gequantelt auftritt, so schwierig, daß es bisher zwar nicht an Ansätzen mangelt, aber keine in den letzten 60 Jahren vorgeschlagene Quantentheorie der Gravitation überzeugen konnte.(Für einen Übersichtsartikel konsultiere der interessierte Fachmann Steve Carlips Statusbericht.) Auf die Notwendigkeit einer Quantentheorie der Gravitation wies allerdings schon Albert Einstein hin:
"Gleichwohl müßten die Atome zufolge der inneratomischen Elektronenbewegung nicht nur elektromagnetische, sondern auch Gravitationsenergie ausstrahlen, wenn auch in winzigem Betrage. Da dies in Wahrheit in der Natur nicht zutreffen dürfte, so scheint es, daß die Quantentheorie nicht nur die Maxwellsche Elektrodynamik, sondern auch die neue Gravitationstheorie wird modifizieren müssen." (Einstein, A.: Näherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation. Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, Berlin, 1916)
Zum Vermeiden der Schwierigkeiten in vier Dimensionen kann man zuerst Gravitation in drei oder, wie in unserem Fall in zwei Dimensionen betrachten. Dort ist die Einstein-Hilbert-Wirkung nach dem Satz von Gauß-Bonnet allerdings völlig trivial: Das Wirkungsfunktional zählt nur die Ränder und die Henkel der zweidimensionalen Raumzeit, also topologische Größen! Die Wahl der Metrik ändert den Wert der Wirkung überhaupt nicht! Allerdings gibt es viele zweidimensionale Modelle, die neben dynamischer Gravitation auch noch ein zusätzliches Skalarfeld, das Dilaton, enthalten. Diese werden Dilatongravitationstheorien oder auch Skalar-Tensor-Theorien genannt. Sie lassen sich alle in einem Wirkungsfunktional mit zwei freien Funktionen des Dilatonfeldes, welche das konkrete System bestimmen, zusammenfassen. Ein physikalisch wichtiger Spezialfall ist sphärisch reduzierte Gravitation, also die Wirkung, die man aus der Einstein-Hilbert-Wirkung in vier Dimensionen durch den Ansatz einer räumlich kugelsymmetrischen Metrik erhält. Das Dilaton ist in diesem Fall gleich dem Quadrat der verbliebenen räumlichen Koordinate (dem Radius in Kugelkoordinaten). 
All diese Dilatongravitationstheorien (ohne weitere Materie) haben zwei wichtige Eigenschaften. Erstens sind sie nicht mehr topologisch im obigen Sinne, aber dennoch integrabel, d.h. die klassischen Lösungen lassen sich exakt für alle Modelle angeben! So findet man z.B. für sphärisch reduzierte Gravitation die bekannte Schwarzschild-Lösung für ein schwarzes Loch wieder. Ich will hier aber ehrlich sein: Eigentlich gilt diese Aussage für eine zur Dilatongravitationswirkung klassisch äquivalente, sogenannte "First order gravity"-Wirkung (FOG-Wirkung), in der die Metrik durch Vielbeine ausgedrückt werden. Diese Wirkung kann auch als Poisson-σ-Modell ausgedrückt werden. Zweitens kann man das Pfadintegral über die FOG-Wirkung exakt ausführen und die effektive Wirkung berechnen. Es stellt sich sogar heraus, daß die Erwartungswerte der geometrischen Größen die klassischen Bewegungsgleichungen erfüllen, daß also der gravitative Sektor der Theorie keine gravitativen Quantenkorrekturen erfährt! Eine weitere wichtige Erkenntnis ist, daß, um dieses Resultat zu erreichen, nicht nur über Metriken mit streng positiven Volumenelement, sondern auch über degenerierte und sogar solche mit negativem Volumenelement integriert werden muß. Die geometrische Bedeutung ist hier nicht ganz klar: Möglicherweise sind Änderungen der Signatur der Raumzeit auf Quantenniveau möglich.
Gibt man nun Materie, egal ob Skalare oder Fermionen zum System hinzu, verschwinden diese beiden Eigenschaften. Weder kann man für allgemeine Anfangsdaten eine Lösung der Bewegungsgleichungen des Systems angeben, noch läßt sich das Pfadintegral vollständig berechnen. Die geometrischen Variablen können aber immer noch ausintegriert und die Materie in der verbleibenden nichtlokalen effektiven Wirkung mit störungstheoretischen Methoden berücksichtigt werden. Dabei fanden wir z.B. Feynmandiagramme, die einen nichtlokalen Vertex haben, der als virtuelles schwarzen Loch gedeutet werden kann. Virtuell bedeutet hierbei, daß (für sphärisch reduzierte Gravitation) Zwischenzustände mit effektiver Schwarzschild-Geometrie (s. linkes Bild) und einer auf einer lichtartigen Linie lokalisierten Masse in Streuprozeßen auftreten. (Eine genauere Erklärung des Begriffs findet man in hep-th/0409231, Abschnitt 2.2)
Berechnet man Streuprozeße, muß über alle Carter-Penrose-Diagramme mit verschiedenen Endpunkten y des lichtartigen Schnitts integriert werden. Identifiziert man alle diese Diagramme bei licht- und raumartig unendlich (dort ist die Geometrie asymptotisch gleich), so erhält man ein CP-Diagramm mit unendlich vielen Blättern. Die ganze Prozedur ähnelt Hugh Everetts "Viele Welten"-Interpretation der Quantenmechanik. Everett nimmt an, daß es unendlich viele Parallelwelten gibt, in denen alle Möglichkeiten quantenmechanischer Zustände gleichzeitig realisiert sind. In unserem Fall erhält ein Streuprozeß Beiträge von allen diesen "Welten", wobei jede Welt eine Raumzeit mit einem virtuellen schwarzen Loch ist.
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